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Vamos

Definición de recta

 

Definimos una recta como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto y con una dirección dada .

 

ecuación de la recta

 

Ecuación vectorial de la recta

 

Si es un punto de la recta , el vector tiene igual dirección que , luego es igual a multiplicado por un escalar

 

 

ecuacion vectorial de la recta

 

De la resta de los vectores se obtiene

 

 

Despejando de la ecuación anterior se obtiene  la ecuación vectorial de la recta

 

 

Ejemplo: Una recta pasa por el punto y tiene un vector director . Escribir su ecuación vectorial.

 

Sustituimos el punto y el vector director en la fórmula de la ecuación vectorial de la recta

 

 

y obtenemos

 

 

 

Ecuación paramétrica de la recta

 

Realizando las operaciones indicadas en la ecuación vectorial se obtiene:

 

 

Igualando, obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta.

 

 

Ejemplo: Una recta pasa por el punto y tiene un vector director . Escribir sus ecuaciones paramétricas.

 

Sustituimos el punto y el vector director en la fórmula de la ecuación vectorial de la recta

 

 

y obtenemos las ecuaciones paramétricas

 

 

 

Ecuación continua de la recta

 

Si despejamos el parámetro de las ecuaciones paramétricas e igualamos, obtenemos la ecuación continua de la recta.

 

 

Ejemplo: Una recta pasa por el punto y tiene un vector director . Escribir su ecuación continua.

 

Sustituimos el punto y el vector director en la fórmula de la ecuación continua de la recta

 

 

 

Ecuación punto pendiente

 

Partimos de la ecuación continua la recta, quitamos denominadores y despejamos:

 

 

haciendo la pendiente

 

se obtiene:

 

 

Ejemplo: Calcular la ecuación de la recta que pasan por los puntos y .

 

Calculamos la pendiente

 

 

Sustituimos en la fórmula de la ecuación punto pendiente y obtenemos

 

 

 

Ecuación general de la recta

 

Partimos de la ecuación continua la recta

 

 

Quitamos denominadores:

 

 

Trasponemos términos:

 

 

Transformamos:

 

 

Y obtenemos la ecuación general de la recta.

 

 

Las componentes del vector director son:

 

 

La pendiente de la recta es:

 

 

Ejemplo: Calcular la ecuación de la que pasa por y tiene como pendiente .

 

Aplicamos la fórmula punto pendiente

 

 

Trasponemos términos

 

 

 

Ecuación explícita de la recta

 

Si despejamos en la ecuación general de la recta, se obtiene la ecuación explícita de la recta:

 

 

El coeficiente de la es la pendiente .

 

El término independiente , se llama ordenada en el origen de una recta, siendo el punto de corte con el eje de ordenadas.

 

Ejemplo: Calcular la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por y tiene como pendiente .

 

Calculamos la recta a partir de la fórmula punto pendiente

Despejamos

 

 

Ecuación canónica de la recta

 

Si los puntos determinan una recta, entonces el vector director viene dado por

 

 

Sustituyendo estos valores en la ecuación continua, obtenemos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

 

 

Trasponiendo términos obtenemos

 

 

Haciendo se obtiene

 

 

 

la ecuación canónica de la recta

 

 

ecuacion canonica de la recta

 

Ejemplo: Hallar la ecuación canónica de la recta que pasa por y tiene por vector director .

 

Escribimos la ecuación continua de la recta

 

 

Escribimos la ecuación general de la recta

 

 

Dividimos ambos lados entre y obtenemos

 

 

 

Ejercicios

 

 1  Escribe la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos y . Escribir su ecuación vectorial.

 1  El vector director tiene la misma dirección del vector:

 

 

 2  Sustituimos uno de los puntos y el vector director en la fórmula de la ecuación vectorial de la recta

 

 

y obtenemos

 

 

 

 

 2  Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos y . Escribir su ecuación vectorial.

 1  El vector director tiene la misma dirección del vector:

 

 

 2  Sustituimos uno de los puntos y el vector director en la fórmula de la ecuación paramétrica de la recta

 

 

 

 3  Escribe la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos y . Escribir su ecuación vectorial.

 1  El vector director tiene la misma dirección del vector:

 

 

 2  Sustituimos uno de los puntos y el vector director en la fórmula de la ecuación continua de la recta

 

 

 

 4  Calcular la ecuación de la recta que pasan por y tenga una inclinación de .

 1  La pendiente es igual a la tangente del ángulo de inclinación:

 

 

 2  Sustituimos en la fórmula de punto pendiente

 

 

 

 5  Escribe la ecuación general de la recta que pasa por los puntos y .

 1  Calculamos el vector director:

 

 

 2  Calculamos el valor de

 

 

 3  Sustituimos en la fórmula de la ecuación general de la recta

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗