Definición de recta
Definimos una recta como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto y con una dirección dada .
Ecuación vectorial de la recta
Si es un punto de la recta , el vector tiene igual dirección que , luego es igual a multiplicado por un escalar
De la resta de los vectores se obtiene
Despejando de la ecuación anterior se obtiene la ecuación vectorial de la recta
Ejemplo: Una recta pasa por el punto y tiene un vector director . Escribir su ecuación vectorial.
Sustituimos el punto y el vector director en la fórmula de la ecuación vectorial de la recta
y obtenemos
Ecuación paramétrica de la recta
Realizando las operaciones indicadas en la ecuación vectorial se obtiene:
Igualando, obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta.
Ejemplo: Una recta pasa por el punto y tiene un vector director . Escribir sus ecuaciones paramétricas.
Sustituimos el punto y el vector director en la fórmula de la ecuación vectorial de la recta
y obtenemos las ecuaciones paramétricas
Ecuación continua de la recta
Si despejamos el parámetro de las ecuaciones paramétricas e igualamos, obtenemos la ecuación continua de la recta.
Ejemplo: Una recta pasa por el punto y tiene un vector director . Escribir su ecuación continua.
Sustituimos el punto y el vector director en la fórmula de la ecuación continua de la recta
Ecuación punto pendiente
Partimos de la ecuación continua la recta, quitamos denominadores y despejamos:
haciendo la pendiente
se obtiene:
Ejemplo: Calcular la ecuación de la recta que pasan por los puntos y .
Calculamos la pendiente
Sustituimos en la fórmula de la ecuación punto pendiente y obtenemos
Ecuación general de la recta
Partimos de la ecuación continua la recta
Quitamos denominadores:
Trasponemos términos:
Transformamos:
Y obtenemos la ecuación general de la recta.
Las componentes del vector director son:
La pendiente de la recta es:
Ejemplo: Calcular la ecuación de la que pasa por y tiene como pendiente .
Aplicamos la fórmula punto pendiente
Trasponemos términos
Ecuación explícita de la recta
Si despejamos en la ecuación general de la recta, se obtiene la ecuación explícita de la recta:
El coeficiente de la es la pendiente .
El término independiente , se llama ordenada en el origen de una recta, siendo el punto de corte con el eje de ordenadas.
Ejemplo: Calcular la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por y tiene como pendiente .
Calculamos la recta a partir de la fórmula punto pendiente
Despejamos
Ecuación canónica de la recta
Si los puntos determinan una recta, entonces el vector director viene dado por
Sustituyendo estos valores en la ecuación continua, obtenemos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
Trasponiendo términos obtenemos
Haciendo se obtiene
la ecuación canónica de la recta
Ejemplo: Hallar la ecuación canónica de la recta que pasa por y tiene por vector director .
Escribimos la ecuación continua de la recta
Escribimos la ecuación general de la recta
Dividimos ambos lados entre y obtenemos
Ejercicios
1 Escribe la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos y . Escribir su ecuación vectorial.
1 El vector director tiene la misma dirección del vector:
2 Sustituimos uno de los puntos y el vector director en la fórmula de la ecuación vectorial de la recta
y obtenemos
2 Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos y . Escribir su ecuación vectorial.
1 El vector director tiene la misma dirección del vector:
2 Sustituimos uno de los puntos y el vector director en la fórmula de la ecuación paramétrica de la recta
3 Escribe la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos y . Escribir su ecuación vectorial.
1 El vector director tiene la misma dirección del vector:
2 Sustituimos uno de los puntos y el vector director en la fórmula de la ecuación continua de la recta
4 Calcular la ecuación de la recta que pasan por y tenga una inclinación de .
1 La pendiente es igual a la tangente del ángulo de inclinación:
2 Sustituimos en la fórmula de punto pendiente
5 Escribe la ecuación general de la recta que pasa por los puntos y .
1 Calculamos el vector director:
2 Calculamos el valor de
3 Sustituimos en la fórmula de la ecuación general de la recta
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Graficar y calcular la distancia y punto Medio de los siguientes P(1,1),Q (3,3)
Hallar la distancia y la pendiente de A(07)
B(2,1)
F(×)=5-2×
A= (7,7)
B= (-9,-6)
Ecuación explícita de la recta
una recta pasa por el punto (0,-5) formando con una x un ángulo de x=90° Hallar la ecuación de la recta
1. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por A(3,-1,0) y su vector director sea
perpendicular a los vectores: w = y u =
Cuál es la recta que contiene a los puntos o(-2,1) y Q(-3,-4)
Necesito que me ayudes con hallar la ecuación de la recta sabiendo que la recta pasa los puntos p(2,-5) y q(-2,1)